Combien de courbes peut dessiner mon ami ?
Mathéo Milley-Arjaliès
30 mai 2026
Combien de courbes peut dessiner mon ami ?
Partie 1 - La question naïve
1.1. Mise en place du problème
Mon ami a dessiné une courbe dans le plan. Il m’indique qu’elle passe par le point P_1 = (1, 1). Je connais également ce point. Je veux deviner sa courbe en lui demandant, un par un, des points supplémentaires appartenant à celle-ci.
Appelons : - P_2 le deuxième point que je cherche à placer, - P_3 le troisième point, que je cherche à placer sans encore connaître P_2.
La question que je me pose est la suivante :
L’ensemble des positions possibles pour P_3 (sans connaître P_2) est-il strictement plus grand que l’ensemble des positions possibles pour P_2 ?
Pour y répondre, il faut d’abord formaliser ce qu’on entend par “ensemble des positions possibles”.
1.2. Deux interprétations naturelles
Il y a deux façons raisonnables de lire la question.
Interprétation A - position géographique du point
On s’intéresse uniquement à où peut se trouver P_3 dans le plan, indépendamment de ce qu’on sait ou ne sait pas sur P_2.
- Ensemble possible pour P_2 : \mathbb{R}^2 \setminus \{P_1\} (tout point du plan sauf (1,1), si on impose que les points sont distincts)
- Ensemble possible pour P_3 (sans connaître P_2) : \mathbb{R}^2 \setminus \{P_1\} également car P_3 peut se trouver n’importe où, y compris là où se trouverait P_2
Sous cette interprétation, les deux ensembles sont identiques. La réponse à la question est immédiate : les deux infinis sont égaux.
Interprétation B - situation complète de l’observateur
On s’intéresse cette fois à l’ensemble des situations possibles dans lesquelles je me trouve lorsque je dois placer P_3 sans connaître P_2. Une situation est complètement décrite par le couple (P_2, P_3) : deux points que je ne connais pas encore.
- Ensemble possible pour P_2 : \mathbb{R}^2 \setminus \{P_1\}
- Ensemble possible de situations pour P_3 (sans connaître P_2) : l’ensemble de tous les couples (P_2, P_3), soit \left(\mathbb{R}^2 \setminus \{P_1\}\right) \times \mathbb{R}^2 \approx \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 = \mathbb{R}^4
Sous cette interprétation, la question devient : est-ce que |\mathbb{R}^4| > |\mathbb{R}^2| ?
Et plus généralement, est-ce que le produit cartésien d’un infini par lui-même produit un infini strictement plus grand ?
1.3. Une remarque sur la nature de la courbe
Avant de poursuivre, une contrainte importante mérite d’être soulevée : les ensembles ci-dessus dépendent de ce qu’on suppose sur la courbe.
Si la courbe est injective (elle ne repasse jamais par le même point), alors P_3 \notin \{P_1, P_2\}, et l’ensemble possible pour P_3 est \mathbb{R}^2 \setminus \{P_1, P_2\} plutôt que \mathbb{R}^2.
Cela change-t-il la comparaison ?
La réponse est non, et voici pourquoi : retirer un nombre fini de points d’un ensemble infini non dénombrable ne change pas sa cardinalité. On peut le montrer en construisant une bijection explicite.
Argument de Hilbert (version ensembliste)
Soit E = \mathbb{R}^2 et p \in E un point quelconque. Choisissons une suite infinie dénombrable de points distincts dans E : p = q_1, q_2, q_3, q_4, \ldots
On définit la bijection f : E \to E \setminus \{p\} par : f(x) = \begin{cases} q_{n+1} & \text{si } x = q_n \text{ pour un certain } n \geq 1 \\ x & \text{sinon} \end{cases}
Cette application est bien une bijection de E sur E \setminus \{p\} : elle est injective (deux antécédents distincts ont des images distinctes) et surjective (tout élément de E \setminus \{p\} a un antécédent). On en déduit : |\mathbb{R}^2 \setminus \{p_1, \ldots, p_k\}| = |\mathbb{R}^2| \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}
La contrainte d’injectivité de la courbe ne modifie donc pas la comparaison des cardinaux. La question centrale reste : est-ce que |\mathbb{R}^4| > |\mathbb{R}^2| ?
Partie 2 - Qu’est-ce que comparer deux infinis ?
2.1. La limite de l’intuition arithmétique
L’intuition naturelle est que |\mathbb{R}^4| > |\mathbb{R}^2|, par analogie avec les entiers : si n > 1, alors n^2 > n. Mais cette intuition est fondée sur une arithmétique des quantités finies. Elle s’effondre dès qu’on entre dans le domaine des ensembles infinis.
Pour comparer des ensembles infinis rigoureusement, il faut abandonner l’idée de “compter” les éléments et adopter un outil plus fondamental : la bijection.
2.2. Cardinalité : définition formelle
Définition. Deux ensembles A et B ont la même cardinalité, noté |A| = |B|, s’il existe une bijection f : A \to B.
Cette définition est due à Georg Cantor (1874). Elle généralise la notion d’égalité de taille aux ensembles infinis, sans jamais recourir au “comptage”.
On définit également une relation d’ordre entre cardinaux :
Définition. |A| \leq |B| s’il existe une injection f : A \to B (une application qui à deux éléments distincts de A associe deux éléments distincts de B).
La question naturelle est alors : si |A| \leq |B| et |B| \leq |A|, peut-on conclure |A| = |B| ? La réponse est oui, mais ce n’est pas immédiat. C’est l’objet du théorème suivant.
2.3. Théorème de Cantor-Bernstein-Schroeder
Théorème (Cantor-Bernstein-Schroeder). Soient A et B deux ensembles. Si |A| \leq |B| et |B| \leq |A|, alors |A| = |B|.
Autrement dit : s’il existe une injection f : A \hookrightarrow B et une injection g : B \hookrightarrow A, alors il existe une bijection h : A \to B.
Ce théorème est fondamental car il permet de montrer l’égalité de deux cardinaux sans construire explicitement une bijection. Ce qui est souvent très difficile. Il suffit de trouver deux injections dans les deux sens.
Remarque. La preuve de ce théorème est non triviale : l’existence de deux injections ne permet pas de simplement “coller” ces injections pour obtenir une bijection. La preuve standard utilise un argument de point fixe (lemme de Knaster-Tarski) ou une construction par ensembles de chaînes alternées. Elle est admise ici.
2.4. Première application : |\mathbb{R}| = |\mathbb{R}^2|
On va montrer que |\mathbb{R}| = |\mathbb{R}^2|, c’est-à-dire que la droite réelle et le plan ont la même cardinalité.
Étape 1 : injection de \mathbb{R} dans \mathbb{R}^2
L’application x \mapsto (x, 0) est une injection triviale de \mathbb{R} dans \mathbb{R}^2. Donc |\mathbb{R}| \leq |\mathbb{R}^2|.
Étape 2 : injection de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}
C’est l’étape non triviale. On va construire une injection de [0,1]^2 dans [0,1] par entremêlement des développements décimaux, puis en déduire l’injection pour \mathbb{R}^2 tout entier.
Soit (x, y) \in [0,1]^2. On écrit : x = 0.x_1 x_2 x_3 x_4 \ldots \qquad y = 0.y_1 y_2 y_3 y_4 \ldots
On définit alors : f(x, y) = 0.x_1 y_1 x_2 y_2 x_3 y_3 \ldots \in [0,1]
Subtilité. Le développement décimal d’un réel n’est pas unique : 0.1000\ldots = 0.0999\ldots. Pour que f soit bien définie et injective, on convient de toujours choisir le développement qui ne se termine pas par une infinité de chiffres 9 (représentation canonique).
Avec cette convention, f est bien une injection de [0,1]^2 dans [0,1] : si (x, y) \neq (x', y'), alors f(x,y) \neq f(x', y') (les suites entremêlées diffèrent en au moins une position).
Conclusion par Cantor-Bernstein-Schroeder
On dispose de : - Une injection [0,1] \hookrightarrow [0,1]^2 (via x \mapsto (x, 0)) - Une injection [0,1]^2 \hookrightarrow [0,1] (via l’entremêlement)
Par CBS : |[0,1]| = |[0,1]^2|.
Or |[0,1]| = |\mathbb{R}| (via, par exemple, t \mapsto \tan(\pi t - \pi/2), qui est une bijection de (0,1) sur \mathbb{R}). On en déduit :
\boxed{|\mathbb{R}^2| = |\mathbb{R}|}
Ce résultat est celui qui a stupéfait Cantor lui-même. Il établit que passer d’une dimension à deux dimensions ne change pas la cardinalité.
2.5. Corollaire : |\mathbb{R}^n| = |\mathbb{R}| pour tout n \geq 1
Corollaire. Pour tout entier n \geq 1, |\mathbb{R}^n| = |\mathbb{R}|.
Preuve par récurrence.
- Initialisation : |\mathbb{R}^1| = |\mathbb{R}| est trivial.
- Hérédité : supposons |\mathbb{R}^n| = |\mathbb{R}|. Alors : |\mathbb{R}^{n+1}| = |\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}| = |\mathbb{R} \times \mathbb{R}| = |\mathbb{R}^2| = |\mathbb{R}| où on utilise l’hypothèse de récurrence pour la deuxième égalité, et le résultat de 2.4 pour la dernière. \square
On note \mathfrak{c} = |\mathbb{R}| la cardinalité du continu. Le corollaire s’écrit : |\mathbb{R}^n| = \mathfrak{c} \quad \text{pour tout } n \geq 1
2.6. Réponse à la question initiale
On peut maintenant répondre à la question posée en Partie 1.
Sous l’interprétation A (position géographique de P_3) : les deux ensembles sont \mathbb{R}^2 \setminus \{P_1\}, de cardinalité \mathfrak{c} donc ils sont égaux.
Sous l’interprétation B (situations possibles pour le couple (P_2, P_3)) : l’espace des situations est \mathbb{R}^4, de cardinalité \mathfrak{c} donc idem que l’interprétation A.
Dans les deux cas l’infinité de possibilités pour placer P_3 sans connaître P_2 est égale à l’infinité de possibilités pour placer P_2.
L’intuition arithmétique (qui suggérait que le produit de deux infinis devrait être un infini plus grand) est mise en défaut. Le produit cartésien ne crée pas de nouvelle cardinalité pour les ensembles de type \mathbb{R}^n.
Cela soulève une question : existe-t-il des infinis strictement plus grands que \mathfrak{c} ? La réponse est oui et c’est l’objet de la Partie 3.
Partie 3 - Existe-t-il des infinis strictement plus grands ?
3.1. Retour sur \aleph_0 : le premier infini
On appelle \aleph_0 (“aleph zéro”) la cardinalité de \mathbb{N}. Un ensemble est dit dénombrable s’il est de cardinalité \aleph_0, c’est-à-dire s’il est en bijection avec \mathbb{N}.
Des exemples remarquables d’ensembles dénombrables : - |\mathbb{Z}| = \aleph_0 (via l’entrelacement 0, 1, -1, 2, -2, \ldots) - |\mathbb{Q}| = \aleph_0 (via le “parcours en diagonale” du tableau des fractions p/q)
Ces résultats sont eux-mêmes contre-intuitifs : il y a “autant” d’entiers que de rationnels, malgré la densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R}.
La question est alors : \mathbb{R} est-il lui aussi dénombrable ?
3.2. |\mathbb{R}| > \aleph_0 : l’argument diagonal de Cantor
Théorème. |\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|, autrement dit \mathbb{R} n’est pas dénombrable.
Preuve (par l’absurde).
Supposons qu’il existe une bijection f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, c’est-à-dire une énumération de tous les réels : r_0 = 0.\mathbf{a_{00}}a_{01}a_{02}a_{03}\ldots r_1 = 0.a_{10}\mathbf{a_{11}}a_{12}a_{13}\ldots r_2 = 0.a_{20}a_{21}\mathbf{a_{22}}a_{23}\ldots r_3 = 0.a_{30}a_{31}a_{32}\mathbf{a_{33}}\ldots \vdots
On construit un réel d \in [0,1] en modifiant le n-ième chiffre de r_n pour chaque n : d_n = \begin{cases} 1 & \text{si } a_{nn} \neq 1 \\ 2 & \text{si } a_{nn} = 1 \end{cases}
et on pose d = 0.d_0 d_1 d_2 d_3 \ldots
Par construction, d diffère de r_n en au moins la n-ième décimale, pour tout n \in \mathbb{N}. Donc d \neq r_n pour tout n — ce qui contredit le fait que f soit surjective.
Remarque. On choisit les chiffres 1 et 2 (plutôt que 0 et 9) pour éviter le problème de non-unicité des développements décimaux (0.999\ldots = 1.000\ldots).
On en déduit : \aleph_0 = |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}| = \mathfrak{c}
Il existe donc au moins deux “tailles” d’infini distinctes. Mais la hiérarchie va bien au-delà.
3.3. Lien entre \mathfrak{c} et l’ensemble des parties de \mathbb{N}
On peut montrer que \mathfrak{c} = |\mathcal{P}(\mathbb{N})|, où \mathcal{P}(\mathbb{N}) désigne l’ensemble de toutes les parties de \mathbb{N}.
Argument. Toute partie A \subseteq \mathbb{N} peut être encodée par sa fonction caractéristique \mathbf{1}_A : \mathbb{N} \to \{0,1\}, définie par \mathbf{1}_A(n) = 1 si n \in A, 0 sinon. Cette correspondance est bijective : \mathcal{P}(\mathbb{N}) \longleftrightarrow \{0,1\}^\mathbb{N}
Or une suite binaire (b_0, b_1, b_2, \ldots) \in \{0,1\}^\mathbb{N} s’interprète comme le développement en base 2 d’un réel de [0,1] : (b_n) \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} b_n \cdot 2^{-(n+1)}. Cette application est surjective sur [0,1] et presque injective (les ambiguïtés dyadiques forment un ensemble dénombrable), donc |\{0,1\}^\mathbb{N}| = |[0,1]| = \mathfrak{c}.
On écrit conventionnellement : \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}
Cette notation n’est pas seulement symbolique : elle reflète la structure exponentielle |\{0,1\}^\mathbb{N}| = 2^{|\mathbb{N}|}.
3.4. Théorème de Cantor général : |\mathcal{P}(E)| > |E|
Le résultat central de cette partie est une généralisation radicale : quel que soit l’ensemble E, son ensemble des parties est strictement plus grand.
Théorème (Cantor, 1891). Pour tout ensemble E, |\mathcal{P}(E)| > |E|.
Preuve.
Étape 1 : |E| \leq |\mathcal{P}(E)|. L’application e \mapsto \{e\} est une injection de E dans \mathcal{P}(E).
Étape 2 : |E| \neq |\mathcal{P}(E)|, i.e. il n’existe pas de surjection f : E \twoheadrightarrow \mathcal{P}(E).
Supposons par l’absurde qu’une telle surjection f existe. On définit l’ensemble diagonal : D = \{x \in E \mid x \notin f(x)\}
D est bien un élément de \mathcal{P}(E). Puisque f est surjective, il existe d \in E tel que f(d) = D. On se demande si d \in D :
- Si d \in D, alors par définition de D : d \notin f(d) = D. Contradiction.
- Si d \notin D, alors puisque D = \{x \in E \mid x \notin f(x)\} et d \notin f(d) = D : d \in D. Contradiction.
Dans les deux cas on aboutit à une contradiction. Donc aucune surjection f : E \to \mathcal{P}(E) n’existe, et |E| \neq |\mathcal{P}(E)|.
En combinant les deux étapes : |E| < |\mathcal{P}(E)|. \square
Remarque. La construction de D est une diagonalisation : on exploite le fait que f ne peut pas “se pointer elle-même” correctement, en construisant un ensemble qui échappe par construction à toute image possible. C’est le même schéma que dans la preuve de 3.2. Vous avez remarqué qu’ici le deuxième point fait à la fois du point pour la partie “3.2.” et de la ponctuation usuelle de fin de phrase ? Il y aurait donc une injection de l’ensemble des signes de ponctuation vers l’ensemble de la signification des signes de ponctuation ? Mais dans ce cas pourquoi on inventerait pas plus de signes de ponctuation ? Et comment déterminer la probabilité de signification dans telle ou telle situation avec un signe de ponctuation ? C’est terrifiant.
3.5. La hiérarchie des infinis
Le théorème de Cantor s’applique à tout ensemble, y compris à des ensembles déjà infinis. On peut donc itérer l’opération E \mapsto \mathcal{P}(E) indéfiniment, ce qui produit une hiérarchie strictement croissante de cardinaux infinis, appelée hiérarchie de Beth :
\beth_0 = \aleph_0 = |\mathbb{N}| \beth_1 = 2^{\beth_0} = \mathfrak{c} = |\mathbb{R}| \beth_2 = 2^{\beth_1} = |\mathcal{P}(\mathbb{R})| \beth_3 = 2^{\beth_2} = |\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))| \vdots
avec \beth_0 < \beth_1 < \beth_2 < \beth_3 < \ldots au sens strict des cardinaux.
Il n’existe donc pas de “plus grand infini” : pour tout cardinal infini, il en existe un strictement plus grand. La hiérarchie est sans sommet.
3.6. L’hypothèse du continu
On a établi : \aleph_0 < \mathfrak{c}
La question naturelle est : existe-t-il un cardinal \kappa tel que \aleph_0 < \kappa < \mathfrak{c} ?
Cantor a conjecturé que non et c’est l’hypothèse du continu (HC) :
\text{HC} : \quad \mathfrak{c} = \aleph_1
où \aleph_1 désigne le plus petit cardinal infini strictement supérieur à \aleph_0.
Cette conjecture a occupé les mathématiciens pendant près d’un siècle. Elle a conduit à un résultat profond et déstabilisant :
- En 1940, Kurt Gödel montre que HC est consistante avec les axiomes standard des mathématiques (ZFC) : on ne peut pas réfuter HC.
- En 1963, Paul Cohen montre que la négation de HC est également consistante avec ZFC : on ne peut pas non plus prouver HC.
L’hypothèse du continu est donc indépendante de ZFC : ni vraie ni fausse dans le système axiomatique standard. Elle constitue l’un des exemples les plus frappants de la complétude impossible des mathématiques, mise en lumière par les théorèmes d’incomplétude de Gödel (1931).